Quan hệ thứ tự một phần là quan hệ thuần nhất có tính bắc cầu và phản đối xứng.[5] Có hai định nghĩa thường gặp cho quan hệ thứ tự một phần phản xạ và không phản xạ, được gọi là "không nghiêm ngặt" và "nghiêm ngặt" tương ứng. Hai định nghĩa này có thể đặt trong ương ứng một-một, trong đó mỗi quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt có duy nhất một quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt tương ứng và ngược lại cũng thế. Thuật ngữ quan hệ thứ tự một phần thường là chỉ đến nhất quan hệ thứ một phần không nghiêm ngặt.

Quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt

Quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt[6] (hoặc quan hệ thứ tự một phần yếu)[5] là quan hệ thuần nhất ≤ có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu trên tập hợp P {\displaystyle P} , nghĩa là với mọi a , b , c ∈ P , {\displaystyle a,b,c\in P,} nó phải thỏa mãn:

1. Tính bắc cầu: a ≤ a {\displaystyle a\leq a} , tức mỗi phần tử có quan hệ với chính nó
2. Tính phản đối xứng: nếu a ≤ b {\displaystyle a\leq b} và b ≤ a {\displaystyle b\leq a} thì a = b {\displaystyle a=b} , tức không có hai phần tử phân biệt nào đứng trước cái còn lại
3. Tính bắc cầu: nếu a ≤ b {\displaystyle a\leq b} và b ≤ c {\displaystyle b\leq c} thì a ≤ c {\displaystyle a\leq c} .

Quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt còn là tiền thứ tự phản đối xứng.

Quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt

Quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt[5] (hoặc quan hệ thứ tự một phần mạnh) là quan hệ thuần nhất < có tính hoàn toàn không phản xạ, bất đối xứng và bắc cầu trên tập hợp P; nghĩa là nó phải thỏa mãn các điều kiện sau với mọi a , b , c ∈ P : {\displaystyle a,b,c\in P:}

1. Tính hoàn toàn không phản xạ: không a < a {\displaystyle a<a} , tức không có phần tử nào có quan hệ với chính nó
2. Tính bất đối xứng: nếu a < b {\displaystyle a<b} thì không b < a {\displaystyle b<a} .
3. Tính bắc cầu: nếu a < b {\displaystyle a<b} và b < c {\displaystyle b<c} thì a < c {\displaystyle a<c} .

Tính hoàn toàn không phản xạ và tính bắt cầu suy ra tính bất đối xứng. Tính bất đối xứng thì sẽ suy ra tính hoàn toàn không phản xạ. Nói cách khác, quan hệ bắc cầu có tính bất đối xứng khi và chỉ khi nó hoàn toàn không phản xạ.[7] Do vậy, định nghĩa giữa nguyên kể cả khi nó bỏ đi điều kiện hoàn toàn không phản xạ hoặc điều kiện bất đối xứng (nhưng không thể bỏ cả hai).

Quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt còn được gọi là tiền thứ tự nghiêm ngặt.

Mối liên hệ giữa quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt

Hình 2. Biểu đồ giao hoán về các mối liên hệ giữa quan hệ nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt cùng với đối ngẫu của chúng, qua bao đóng phản xạo (cls), hạt nhân không phản xạ (ker), và quan hệ ngược (cnv). Mỗi quan hệ được biểu diễn bằng ma trận logic của nó cho biểu đồ Hasse ở trung tâm của hình ảnh.Ví dụ chẳng hạn 3 ≰ 4 {\displaystyle 3\not \leq 4} nên ô ở hàng 3, cột 4 của ma trận góc dưới bên trái được để trống.

Quan hệ một phần nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt trên cùng tập hợp P {\displaystyle P} có quan hệ gần gũi với nhau. Quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt ≤ {\displaystyle \leq } có thể biến đổi sang dạng nghiêm ngặt bằng cách loại bỏ tất cả quan hệ dưới dạng a ≤ a ; {\displaystyle a\leq a;} tức quan hệ nghiêm ngặt là tập hợp < :=   ≤   ∖   Δ P {\displaystyle <\;:=\ \leq \ \setminus \ \Delta _{P}} trong đó Δ P := { ( p , p ) : p ∈ P } {\displaystyle \Delta _{P}:=\{(p,p):p\in P\}} là quan hệ đơn vị trên P × P {\displaystyle P\times P} và ∖ {\displaystyle \;\setminus \;} ký hiệu hiệu tập hợp. Ngược lại, quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt < trên P {\displaystyle P} có thể đổi sang dạng không nghiêm ngặt bằng cách hợp thêm các quan hệ dưới dạng đó; tức là, ≤ := Δ P ∪ < {\displaystyle \leq \;:=\;\Delta _{P}\;\cup \;<\;} là quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt . Do đó, nếu ≤ {\displaystyle \leq } là quan hệ thứ tự một phần, thì quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt < là hạt nhân không phản xạ được cho bởi

Ngược lại, nếu < là quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt thì quan hệ thứ tự một không phần nghiêm ngặt ≤ {\displaystyle \leq } là bao đóng phản xạ được đưa bởi

Quan hệ đối ngẫu

Đối ngẫu (hoặc đối ngược) R op {\displaystyle R^{\text{op}}} của quan hệ thứ tự một phần R {\displaystyle R} được định nghĩa bằng cách đặt R op {\displaystyle R^{\text{op}}} là quan hệ ngược của R {\displaystyle R} , tức. x R op y {\displaystyle xR^{\text{op}}y} khi và chỉ khi y R x {\displaystyle yRx} . Đối ngẫu của quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt là quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt,[8] tương tự như vậy đối với đối ngẫu của quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt.